Atelier sur les résonances doubles

2026-04-16T00:00:00Z

La question de la stabilité du Système solaire est la plus vieille question mathématique
ouverte en Systèmes dynamiques. Depuis les travaux révolutionnaires de Poincaré, la
conjecture est que, pour le Système planétaire, lÕensemble des mouvements bornés (en
particulier sans collision ni éjection) est dÕintérieur vide (cÕest-à-dire que de petites
perturbations peuvent partout, dans lÕespace des phases, créer de grandes instabilités). Ce
point de vue a été largement confirmé par les simulations numériques de J. Laskar depuis 25
ans.

Mathématiquement, le détail des mécanismes dÕinstabilité reste mal compris. Une célèbre
conjecture dÕArnold de 1965, sur lÕinstabilité générique des systèmes hamiltoniens presque
intégrables, est en passe dÕêtre résolue, 50 ans plus tard. John Mather (Princeton) avait
formulé une conjecture plus précise au début des années 2000, avant de se rétracter. Suite aux
travaux de Mather, une démonstration (de plusieurs centaines de pages) se profile. Dans cet
atelier, nous souhaitons réunir quelques spécialistes de ces questions pour en aborder lÕun des
points centraux (à défaut de pouvoir parcourir lÕensemble de la démonstration, en une
semaine) : la traversée des résonances doubles.

La traversée des résonances doubles joue un rôle particulier dans la compréhension des
mécanismes dÕinstabilité (bien que les résonances simples jouent elle aussi un rôle
fondamental, puisquÕelles permettent les plus longues dérives). Les résonances doubles sont,
par nature, génériquement non intégrables, et cÕest en partie grâce à elles que, même pour des
systèmes hamiltoniens presque intégrables, les effets de la non-intégrabilité se font sentir, et
quÕune solution peut passer dÕune résonance simple à une autre. Sous certaines hypothèses, on
parvient maintenant à retrouver dans la dynamique déterministe des sous-systèmes invariants
se comportant comme des processus stochastiques de diffusion, conformément à ce que le
physicien Chirikov avait conjecturé.

Une discussion approfondie pendant une semaine permettra dÕéclaircir certains aspects de la
traversée des résonances doubles. Les exposés seront principalement faits par Jean-Pierre
Marco (UPMC) et Vadim Kaloshin (Université du Maryland et ETH Zurich), qui ont accepté
de comparer leurs points de vue. LÕauditoire, restreint étant donné le caractère très technique
des discussions prévues, comportera une dizaine de parisiens et une dizaine de chercheurs
provinciaux ou étrangers.

Centre de Conférences Jules Janssen

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